如何计算数学期望值

时间：2025-10-20 13:09 责任编辑：news

在概率与统计领域，数学期望值是一个极其重要的概念，它能帮助我们对随机现象的平均结果有更清晰的认识。接下来，我们就深入探讨一下数学期望值的计算方法，并通过实际例子来进行解析。

数学期望值的定义

数学期望值（简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。它反映了随机变量取值的平均水平。

计算方法

对于离散型随机变量 ⁄( x ⁄)，其取值为 ⁄( x_1, x_2, ⁄cdots, x_n ⁄)，对应的概率分别为 ⁄( p_1, p_2, ⁄cdots, p_n ⁄)，那么期望 ⁄( e(x) = ⁄sum_{i = 1}^{n} x_i p_i ⁄)。

对于连续型随机变量 ⁄( x ⁄)，概率密度函数为 ⁄( f(x) ⁄)，则期望 ⁄( e(x) = ⁄int_{-⁄infty}^{⁄infty} x f(x) dx ⁄)。

实例解析

抛骰子

抛一枚均匀的骰子，设出现的点数为随机变量 ⁄( x ⁄)。 ⁄( x ⁄) 的取值为 ⁄( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ⁄)，且每个点数出现的概率均为 ⁄( ⁄frac{1}{6} ⁄)。

根据期望公式 ⁄( e(x) = ⁄sum_{i = 1}^{6} i ⁄times ⁄frac{1}{6} = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ⁄times ⁄frac{1}{6} = 3.5 ⁄)。这意味着多次抛骰子后，平均出现的点数接近 ⁄( 3.5 ⁄)。

抽奖问题

某商场举行抽奖活动，抽奖箱中有 ⁄( 10 ⁄) 个球，其中 ⁄( 1 ⁄) 个红球可获一等奖，奖金 ⁄( 1000 ⁄) 元； ⁄( 3 ⁄) 个黄球可获二等奖，奖金 ⁄( 500 ⁄) 元； ⁄( 6 ⁄) 个白球无奖。抽奖一次的奖金期望是多少？

设奖金为随机变量 ⁄( y ⁄)， ⁄( y ⁄) 的取值为 ⁄( 1000 ⁄)（抽到红球），概率为 ⁄( ⁄frac{1}{10} ⁄)； ⁄( 500 ⁄)（抽到黄球），概率为 ⁄( ⁄frac{3}{10} ⁄)； ⁄( 0 ⁄)（抽到白球），概率为 ⁄( ⁄frac{6}{10} ⁄)。

则 ⁄( e(y) = 1000 ⁄times ⁄frac{1}{10} + 500 ⁄times ⁄frac{3}{10} + 0 ⁄times ⁄frac{6}{10} = 100 + 150 + 0 = 250 ⁄) 元。即平均每次抽奖能获得的奖金为 ⁄( 250 ⁄) 元。

通过这些实例，我们可以看到数学期望值在实际生活中的广泛应用，它为我们决策、评估风险等提供了重要的参考依据。